BAB I LOGIKA MATEMATIKA

 

  1. Konsep Logika

      Apakah logika itu ?

           Seringkali Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar (sehingga didapatkan kesimpulan yang absah).

          Manusia mampu mengembangkan pengetahuan karena mempunyai bahasa dan kemampuan menalar. Untuk dapat menarik konklusi yang tepat, diperlukan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada, dan  menurut aturan-aturan tertentu.

  2. Pentingnya Belajar Logika 

           Belajar logika (logika simbolik) dapat meningkatkan kemampuan menalar kita, karena dengan  belajar logika :

       a. Kita mengenali dan menggunakan bentuk-bentuk umum tertentu dari cara penarikan konklusi yang absah, dan                  menghindari kesalahan-kesalahan yang bisa dijumpai.

       b. Kita dapat memperpanjang rangkaian penalaran itu untuk menyelesaikan problem-problem yang lebih  kompleks.

   3. Sejarah Ringkas dan Perkembangan Logika

  Manusia belajar logika sejak jaman Yunani Kuno. Aristoteles (384 - 322 SM) adalah seorang filsuf yang mengembangkan logika pada jaman itu, yang pada waktu itu dikenal dengan sebutan logika tradisional.

  Terdapat 5 aliran besar dalam logika, yaitu :

       1. Aliran Logika Tradisional

                 Logika ditafsirkan sebagai suatu kumpulan aturan praktis yang menjadi petunjuk pemikiran.

       2. Aliran Logika Metafisis

           Susunan pikiran itu dianggap kenyataan, sehingga logika dianggap seperti metafisika. Tugas pokok logika adalah  menafsirkan pikiran sebagai suatu tahap dari struktur kenyataan. Sebab itu untuk mengetahui kenyataan, orang harus belajar logika lebih dahulu.

       3. Aliran Logika Epistemologis

           Dipelopori oleh Francis Herbert Bradley (1846 - 1924) dan Bernard Bosanquet (1848 - 1923). Untuk dapat mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran logis dan perasaan harus digabung. Demikian juga untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan lainnya.

  4. Aliran Logika Instrumentalis (Aliran Logika Pragmatis)

           Dipelopori oleh John Dewey (1859 - 1952). Logika dianggap sebagai alat (instrumen) untuk memecahkan  masalah.

       5. Aliran Logika Simbolis

           Dipelopori oleh Leibniz, Boole dan De Morgan. Aliran ini sangat menekankan penggunaan bahasa simbol untuk               mempelajari secara terinci, bagaimana akal harus bekerja. Metode-metode dalam mengembangkan  matematika banyak digunakan oleh aliran ini, sehingga aliran ini berkembang sangat teknis dan ilmiah serta bercorak matematika, yang kemudian disebut Logika Matematika (Mathematical Logic). G.W. Leibniz (1646 - 1716) dianggap sebagai matematikawan pertama yang mempelajari Logika Simbolik.

  Pada abad kesembilan belas, George Boole (1815 - 1864) berhasil mengembangkan Logika Simbolik. Bukunya yang berjudul Low of Though mengembangkan logika sebagai sistem matematika yang abstrak. Logika Simbolik ini merupakan logika formal yang semata-mata menelaah bentuk dan bukan isi dari apa yang dibicarakan.

        Karena akan dibahas banyak mengenai Logika Simbolik maka berikut ini disampaikan dua pendapat tentang Logika Simbolik yang merangkum keseluruhan maknanya.

        1. Logika simbolik adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah), khususnya yang dikembangkan dengan penggunaan metode-metode matematika dan dengan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindarkan makna ganda dari bahasa sehari-hari (Frederick B. Fitch dalam bukunya “Symbolic Logic”).

        2. Pemakaian simbol-simbol matematika untuk mewakili bahasa. Simbol-simbol itu diolah sesuai dengan aturan-aturan matematika untuk menetapkan apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah.

        Studi tentang logika berkembang terus dan sekarang logika menjadi ilmu pengetahuan yang luas dan yang cenderung mempunyai sifat teknis dan ilmiah. Aljabar Boole, salah satu topik yang merupakan perluasan logika (dan teori himpunan), sekarang ini digunakan secara luas dalam mendesain komputer. Penggunaan simbol-simbol Boole dapat mengurangi banyak kesalahan dalam penalaran.

        Ketidakjelasan berbahasa dapat dihindari dengan menggunakan simbol-simbol, karena setelah problem diterjemahkan ke dalam notasi simbolik, penyelesaiannya menjadi bersifat mekanis. Tokoh-tokoh terkenal lainnya yang menjadi pendukung perkembangan logika simbolik adalah De Morgan, Leonard Euler (1707 - 1783), John Venn (1834 - 1923), Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell (1872 - 1970).

  Sebelum membahas tentang pernyataan, akan kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut kalimat. Kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa. Kata adalah rangkaian huruf yang mengandung arti.  Kalimat berarti rangkaian kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat berarti yang menerangkan (kalimat deklaratif/indicative sentences).

  Contoh :

  1. 4 kurang dari 5

  2. Indonesia terdiri atas 33 propinsi

  3. 2 adalah bilangan prima yang genap

  4. 3 adalah bilangan genap

  dan tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti :

  5. Berapa umurmu ? (Kalimat tanya)

  6. Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah)

  7. Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan perasaan)

  8. Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat pengharapan)

        Dari contoh-contoh di atas, terlihat bahwa kalimat 1, 2, dan 3, bernilai benar, sedang kalimat 4 bernilai salah. Kalimat 5,  7, dan 8, tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. Nilai benar artinya ada kesesuaian antara yang dinyatakan oleh kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya (realitas yang dinyatakannya), yaitu benar dalam arti matematis.

  1.  Pernyataan

       Definisi   : Suatu pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja,

     tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

  Contoh :

  Kalimat 1, 2, 3, dan 4

  Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu.

  Seperti telah kita ketahui, menurut jenisnya suatu kalimat secara sederhana dapat dibagi seperti di bawah ini

  Bukan pernyataan (bukan kalimat deklaratif) contohnya : Kalimat 5, 6, 7, dan 8.

  Sedang kalimat tak berarti contohnya :

        9. Batu makan rumput

      10. 3 melempari 5

  Ada buku yang membedakan antara proposisi dan pernyataan. Yang membedakan antara proposisi dan pernyataan menganggap bahwa contoh 9, dan 10, juga merupakan pernyataan walaupun tidak berarti (bermakna). Pernyataan yang diungkapkan oleh suatu kalimat berarti disebut proposisi. Sehingga proposisi adalah pernyataan, sebaliknya suatu pernyataan belum tentu merupakan proposisi. Suharto adalah presiden kita dengan Suharto is our presiden adalah dua kalimat yang berbeda, tetapi mempunyai arti yang sama. Sehingga dikatakan bahwa kedua kalimat itu merupakan proposisi yang sama. Dalam buku ini kita mendefinisikan proposisi sebagai pernyataan.

      Kalimat pada contoh 1, 2, dan 4, disebut pernyataan sederhana (simple statement), yaitu pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak mengandung kata hubung kalimat. Sedangkan kalimat pada contoh 3, adalah pernyataan majemuk (composite/compound statement), yang terdiri atas satu atau lebih pernyataan sederhana dengan bermacam-macam kata hubung kalimat (connective/perangkai). Sedang pernyataan sederhana disebut juga pernyataan primer atau pernyataan atom.

        Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari setiap pernyataan sederhana yang dikandungnya dan cara menghubungkan pernyataan-pernyataan sederhana itu, dan bukan oleh keterkaitan isi pernyataan-pernyataan sederhana tersebut. Suatu pernyataan umum disimbolkan dengan huruf abjad kecil, misalnya p, q, r, … dan seterusnya, sedang nilai benar disimbolkan dengan “B” atau “1 (satu)” dan nilai salah disimbolkan dengan “S” atau “0 (nol)”.

  Contoh :

  p : Ada 12 bulan dalam setahun (B)

  q : 4 + 5 = 8 (S)

  2.  Variabel dan Konstanta

        Definisi   : Variabel adalah simbol yang menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta 

                                         pembicaraan.

        Definisi   : Konstanta adalah simbol yang menunjukkan anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam semesta

                                         pembicaraan.

  Perhatikan kalimat berikut ini :

        a. Manusia makan nasi.

        b. . . . memakai sepatu

        c. 4 + x = 7

        d. 4 + . . . = 7

        e. p < 5

 

  Ada yang mengatakan bahwa kalimat a benar, tetapi ada juga yang mengatakan bahwa kalimat itu salah, tergantung pada kesesuaian kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya. Kalimat seperti ini disebut pernyataan faktual.

        Ada juga yang mengatakan bahwa kelima-kalimat di atas belum dapat dikatakan mempunyai nilai. Seperti telah kita ketahui, nilai benar maupun nilai salah sebuah kalimat (baik kalimat sehari-hari maupun kalimat matematika), ditentukan oleh kebenaran atau ketidakbenaran realita yang dinyatakan.

        Jika kata “manusia” dalam kalimat a diganti “Yohana”, maka kalimat menjadi “Yohana makan nasi”. Kalimat ini jelas bernilai salah saja atau bernilai benar saja; tergantung realitasnya. Kalimat ini disebut pernyataan faktual. Demikian pula jika “. . .” pada b diganti “Hani”, maka kalimat ini  menjadi “Hani  memakai sepatu”. Kalimat (pernyataan) itupun menjadi jelas nilainya, yaitu salah saja atau benar saja, tergantung realitanya.

        Jika “x” pada c diganti “3” maka kalimat itu menjadi “4 + 3 = 7”. Kalimat (pernyataan) ini jelas bernilai benar saja. Jika “. . .” pada d diganti “4”, maka kalimat itu menjadi “4 + 4 = 7”. Jelas pernyataan itu bernilai salah saja.

        Jika “p” pada e diganti “0, 1, 2, 3, 4”, maka pernyataan “p < 5” menjadi bernilai benar, tetapi kalimat (pernyataan) itu menjadi bernilai  salah apabila “p” pada e diganti "5, 6, 7, . . ." dalam semesta pembicaraan himpunan bilangan cacah.

       “Manusia”, “. . .”, “x”, “p” pada kalimat-kalimat di atas disebut variabel. Sedangkan pengganti-pengganti seperti “Yohana”, “Hani”, “3”, “4”, dan “0, 1, 2, 3, 4” dan "5, 6, 7, . . ." disebut konstanta.

  3. Kalimat Terbuka

  Kalimat-kalimat seperti a sampai dengan e di atas disebut kalimat terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka kalimat yang terjadi dapat disebut kalimat tertutup.

  Definisi   : Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari

    semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau

    bernilai salah saja (pernyataan).

   

  Kalimat terbuka seperti c, d, dan e, disebut kalimat matematika (ada yang menyebut kalimat bilangan). Kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda “=” seperti kalimat c dan d disebut persamaan. Kalimat e yang menggunakan tanda “<” disebut pertidaksamaan (sebutan ini juga berlaku untuk kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda ”>” atau “≠”

  Jika variabel pada kalimat matematika itu sudah diganti dengan konstanta dan kalimat matematika itu menggunakan tanda “=” maka kalimat yang terjadi disebut kesamaan. Sedang kalimat matematika yang tidak mengandung variabel dan menggunakan tanda “<”, “>” atau “≠” disebut ketidaksamaan.

  Di atas telah diberikan definisi-definisi dari pernyataan, variabel, konstanta, dan kalimat terbuka. Pernyataan yang menjelaskan istilah-istilah di atas disebut kalimat definisi. Pada kalimat definisi tidak boleh terdapat kata-kata yang belum jelas artinya, apalagi kata yang sedang didefinisikan.

        Pernyataan majemuk terdiri dari satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung kalimat (connective) tertentu. Dalam bahasa Indonesia kita sering menggunakan kata-kata “tidak”, “dan”, “atau”, “jika. . . maka. . .”, “jika dan hanya jika”. Marilah sekarang kita memperhatikan penggunaan kata-kata itu dengan lebih cermat dalam matematika (dan membandingkannya dengan penggunaan dalam percakapan sehari-hari). Kita pelajari sifat-sifatnya untuk memperjelas cara berpikir kita dan terutama karena pentingnya kata-kata itu untuk melakukan pembuktian. Dalam pelajaran logika (matematika), kata-kata itu disebut kata hubung kalimat, ada lima macam kata hubung kalimat yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, dan bikondisional.

        Negasi tidak menghubungkan dua buah pernyataan sederhana, tetapi tetap dianggap sebagai kata hubung kalimat, yaitu menegasikan pernyataan sederhana (ada yang menganggap bahwa negasi suatu pernyataan sederhana bukan pernyataan majemuk).

 

  1.  Negasi (Ingkaran, atau Penyangkalan)

        Perhatikan pernyataan : “Sekarang hari hujan” bagaimana ingkaran pernyataan itu ? Anda dapat dengan mudah menjawab : "Sekarang hari tidak hujan”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkaran pernyataan itu bernilai salah.

  Sesungguhnya, penambahan "tidak" ke dalam kalimat semula tidaklah cukup. Coba anda pikirkan bagaimana negasi dari kalimat : “Beberapa pemuda adalah atlit”.

  Definisi   : Ingkaran suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai benar, jika pernyataan semula salah,                       

    dan sebaliknya. Ingkaran pernyataan p ditulis ~ p

  Contoh :

Posted : Rabu, 5 Februari 2014 | 11:54 WIB | 874 hits Oleh : Naeni Mekarwati, S.Pd